Многие люди считают математику скучной, «сухой» наукой, сводящейся к монотонному решению числовых примеров. Но ещё Галилео Галилей называл математику языком, на котором написана «книга природы», потому что весь окружающий мир, хотим мы того или нет, построен на строгих закономерностях. Пожалуй, лучшее тому подтверждение – теория фракталов, открытая в ХХ веке учёным Бенуа Мандельбротом. А вдруг это и есть «язык» Высших сил?
Парадокс береговой линии
Послевоенная Европа 50-х годов прошлого века по праву считалась одной из самых развитых частей мира, но когда английский математик Льюис Фрай Ричардсон попробовал определить сухопутную границу между Испанией и Португалией, то потерпел оглушительное фиаско. Каждая сторона называла свои данные: по мнению испанцев, протяженность равнялась 1214 километрам, а,по мнению португальцев,– 987 километрам.
Этот удивительный факт дал «пищу» для научной работы Ричардсона, изучавшего связь между длиной государственных границ и вероятностью начала военного конфликта. Однако необъяснимый феномен с двумя разными результатами подсчётов заинтересовал учёного даже больше основной темы. И не зря: именно Ричардсон стал открывателем явления, получившего название «парадокс береговой линии».
Фрактальная геометрия работает и в речных системах, и в броуновском движении, и в структуре ДНК, и на лунных кратерах – одним словом, и в микромире, и в макромире.
Оказалось, что в ХХ веке, имея множество технологических инструментов, люди всё ещё не могли точно измерить даже границу собственной страны. Как обычно проводили эту процедуру? Брали за основу отрезок определённой длины и откладывали его циркулем на географической карте столько раз, сколько потребуется для прохождения всех очертаний. Затем результаты складывали. Но какой именно отрезок выбрать? Здесь никаких договорённостей у государств не было – можно было взять за основу километр, а можно и 10 километров, можно и 500. Как выяснил бившийся над решением парадокса Ричардсон, погрешности возникают от того, что одну и ту же территорию измеряют отрезками разной длины.
Наглядно это выглядит так. Допустим, при измерении береговой линии побережья Великобритании мы берём «шаг» в 200 километров – в этом случае итоговый результат составит 2400 километров. А если будем измерять «шагом» в 100 километров, получится 2800 километров. Если же будем «двигаться» по 50 километров, то насчитаем уже 3200 километров. Ничего себе разница! Таким образом, изменяя точку отсчёта, мы можем менять итоговую величину береговой линии до бесконечности. И старые добрые математические законы над ситуацией не властны.
Почему? Потому что острова и континенты имеют гораздо более сложные очертания, чем идеальные фигуры из курса школьной геометрии (евклидовой, конечно) – круги, квадраты, треугольники. А как, например, математически описать очертания небесного облака, дерева с ветвящейся кроной, капусты романеску, известной причудливой формой кочанов?
Повелитель геометрии
В середине ХХ века эта задача свела бы с ума любого математика… Но не Бенуа Мандельброта – уникального учёного, родившегося в 1924 году в Варшаве, выросшего в Париже и умершего в 2010 году в американском Кембридже.
В школе Бенуа учиться было скучно. А для учителей слишком странным казался метод, при помощи которого будущий математик решал алгебраические задачи, – геометрический. Мандельброт обладал фантастически развитым пространственным мышлением, что и помогло ему осознать и открыть теорию фракталов.
В 1950-е годы, после получения докторской степени, учёный переехал в США. Первой ласточкой будущей теории стало открытие, сделанное при исследовании вековой статистики колебания цен на хлопок. Мандельброт нашёл в ней закономерность, которую никто раньше не замечал, причём проиллюстрировать её стандартными методами оказалось невозможно. Затем, работая в компании IBM, учёный исследовал причину ошибок, возникавших в процессе передачи компьютерной информации по телефонным каналам, и оказалось, что их появление тоже подчинялось определённому порядку. Это открытие позволило компании сэкономить кучу денег, а Мандельброту – начать обдумывать новую теорию. А когда на глаза Бенуа попались материалы о парадоксе Ричадсона, концепция начала оформляться. Первые исследования фракталов были опубликованы в 1975 году.
Понятие «фрактал» предложил сам автор, в переводе с латинского языка это означает «дроблёный», «разбитый». Если говорить языком словаря, то фрактал – это бесконечная самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. А если проще, то представьте себе любое дерево: каждая маленькая его веточка всегда напоминает большую, а большая – сам ствол. То же самое с капустой романеску и её соцветиями. Это и есть принцип рекурсивногосамоподобия.
Если мы вернёмся к парадоксу береговой линии, то, с точки зрения Бенуа Мальдеброта, для измерений нет никакого смысла в точном следовании рельефу местности. Береговая линия – это всегда чередование заливов и мысов. И независимо от того, как сильно масштабируется та или иная её часть, в общем и целом всё равно проявляется аналогичная картина. Дальше – больше. Фрактальная геометрия работает и в речных системах, и в броуновском движении, и в структуре ДНК, и на лунных кратерах – одним словом, и в микромире, и в макромире. Фрактальную геометрию считают одним из главных открытий ХХ века, перевернувшим математику и физику.
Треугольник Серпинского и снежинка Коха
Справедливости ради надо сказать, что учёные описывали фракталы задолго до Бенуа Мандельброта, просто их изыскания так и не стали стройной теорией. В 1915 году был создан знаменитый треугольник Серпинского – сегодня это одна из первых тем лабораторных работ в профильных вузах. А тогда польский математик Вацлав Серпинский жонглировал фигурами при помощи карандаша. От руки начертил своё древо Пифагора в 1942 году и голландский учитель математики Альберт Босман. Обычная снежинка тоже оказалась фракталом, что ещё в 1904 году открыл шведский математик Хельге фон Кох. В математике описаны десятки других фракталов – сеть Аполлона, цветок Далия, фрактал Вичека, греческий крест и многие-многие другие.
Автор фрактальной геометрии изобрёл ещё несколько, и притом очень сложных. Самый известный из них – множество Мандельброта – настолько обширный и разветвлённый фрактал, что отдельные наименования получили даже его части: например, Долина морских коньков, Аллея слонов, спутник Мандельброта.
Другие учёные успешно развивали идею Бенуа. Например, благодаря ей американский инженер Натан Коэн сконструировал инновационные антенны, которые сегодня используются в каждом смартфоне. Началось всё с того, что он задумал построить дома любительскую радиостанцию, но власти Бостона запретили ставить антенну снаружи здания. Тогда Коэн, знакомый с теорией Бенуа Мандельброта, решил сделать антенну такой, чтобы она помещалась в комнате. Из куска алюминиевой фольги вырезал фигуру в форме кривой Коха (серии бесконечно уменьшающихся треугольников, вырастающих один из другого, подобно крыше многоступенчатой китайской пагоды) и с удивлением обнаружил, что работает такая антенна даже лучше классических. Во-первых, она компактна; во-вторых, имеет гораздо более высокий КПД; в-третьих, покрывает больший частотный диапазон.
Фрактальная геометрия нашла практическое применение и в других современных технологиях – например, в производстве беспроводных зарядок для смартфонов и эффективных теплообменников для Международной космической станции. Биологи выяснили, что фрактальный принцип тому же дереву помогает обеспечивать более эффективный фотосинтез. Английский популяризатор науки Маркус Чоун в 1999 году опубликовал в журнале NewScientist статью под интригующим названием «Фрактальная Вселенная – всё, что мы знаем о космосе, может быть ошибочным». Некоторые учёные пошли ещё дальше, описав нашу постоянно расширяющуюся Вселенную как самогенерирующийся фрактал.
Гуманитариям все эти хитросплетения науки понять, конечно же, не просто. Впрочем, и не только им. После опубликования первых изысканий Бенуа Мандельброт попал под шквал критики своих коллег, считавших фракталы не более чем красивой картинкой, которую приятно разглядывать.«Мне пришлось создать геометрию того, что не имеет своей геометрии», – доказывал Бенуа.
Сегодня уже ясно, что фракталы – это верхушка айсберга, а за ними скрываются ответы на многие загадки мироздания. Достаточно сказать, что фракталы способны существовать в любом измерении (а не только в трёхмерном). Природа – это поразительное сочетание хаоса и порядка, которое человеку только предстоит осознать. И, кажется, мы на правильном пути.
Природные почти фракталы
Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные объекты отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений, что объясняется ограничениями размеров живой клетки.
В живой природе:
- кораллы, морские раковины, звёзды и ежи,
- цветы, листья растений, кроны деревьев
- плоды (ананас)
- система кровообращения и бронхи людей и животных.
В неживой природе:
- границы географических объектов (стран, областей, городов),
- береговые линии,
- облака,молнии,
- снежинки, морозные узоры на окнах
- кристаллы,
- сталактиты, сталагмиты, геликтиты,
- горные хребты.
Подготовила Елена Шумовская
